05 | novembre | 2024 | Le Mathematicum

Comment dessiner un nuage, un arbre, une montagne ? Lorsqu’on est enfant, on sait que ces formes sont difficiles à représenter. On arrive beaucoup mieux à faire une maison, un chemin, une fleur. La complexité de ces figures tient au fait qu’elles sont difficiles a priori à réaliser avec les formes géométriques de bases, comme le cercle, le carré, le triangle, etc. Cette complexité pourtant n’est qu’apparente. Benoit Mandelbrot, un mathématicien français, a mis en évidence une structure qu’il appelle fractale dans ces objets. Une fougère ou un arbre vont ainsi s’obtenir par une application répétées d’une consigne simple. Voici un exemple :

Il existe plusieurs activités liées aux objets fractals que l’on peut faire avec des classes.

Coloriages, pavages et fractales

On prend un carré et on va plier tous les axes de symétries. Les deux diagonales et les deux axes.

L’idée est de construire d’abord de manière récursive un emboîtement de carrés. Pour cela on va prendre pour nouveaux sommets du carré que l’on veut tracer, les milieux de chaque côté du dernier carré obtenu. A la première étape on construit donc le carré rouge suivant :

Il n’y a pas besoin de mesurer avec une règle le côté du carré car il est indiqué par le pliage des deux axes de symétries.

On continue ainsi la construction d’un nouveau carré imbriqué dans le carré rouge. Le milieu des côtés du carré rouge sont aussi indiqués car ils se trouvent à l’intersection avec les deux diagonales que nous avons pliées. On obtient le carré vert suivant :

On continue autant que l’on veut cette construction. On obtient alors une figure de la forme :

On peut profiter de l’occasion pour parler de l’infinie. Souvent lorsqu’on parle d’infinité, on pense à l’univers. Ici, on a un objet qui contient une infinité de version de lui même et qui pourtant tient dans une main.

Ce dessin peut ensuite être colorié pour faire apparaître des spirales imbriquées. La procédure de coloriage est la suivante : on commence par sélectionner un triangle, par exemple celui en haut à droite. On le colorie d’une couleur, ici le rouge.

On continue ainsi en changeant la couleur utilisée. On obtient alors ces quatre spirales emboîtées.

On peut bien évidemment faire le même travail avec d’autres polygones. Ici le pentagone (dont il faut plier les axes de symétries aussi pour obtenir les sommets des différents pentagones à construire).

On peut utiliser ces objets pour créer des pavages qui sont particulièrement complexes à première vue. Vous devez disposer plusieurs tuiles carrées fractales les unes à côté des autres en les collant par le côté. On obtient alors le pavage suivant :

On peut évidemment faire la même chose en utilisant des triangles fractals et des hexagones fractals sur le même principe. Les formes qui apparaissent pavent effectivement le plan et si on avait regardé la figure formée par le carré et les 4 spirales sur le côté, il y a fort à parier que savoir si cette forme pave ou non le plan aurait été non évident !

Une façon de réaliser ce pavage est de faire construire un carré fractal à chaque élève et ensuite de la coller sur une grande feuille A3 par exemple. Une fois ce travail fait, il faut ensuite faire le coloriage du pavage pour faire apparaître ces formes spiralées.

Vous trouverez ici deux supports pour faire le carré fractal et le pentagone fractal: