{"id":502,"date":"2016-03-27T10:00:44","date_gmt":"2016-03-27T08:00:44","guid":{"rendered":"http:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/?p=502"},"modified":"2025-12-01T21:11:29","modified_gmt":"2025-12-01T20:11:29","slug":"defis-cryptographiques","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/defis-cryptographiques\/","title":{"rendered":"D\u00e9fis cryptographiques"},"content":{"rendered":"<p>Pendant la <a href=\"http:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/semaine-des-mathematiques-2016\/\">Semaine des math\u00e9matiques<\/a>, nous avons propos\u00e9\u00a0quelques d\u00e9fis cryptographiques.\u00a0Voici les r\u00e9sultats et les solutions !<\/p>\n<p><!--more--><\/p>\n<p>Quelques liens vers des sites tr\u00e8s utiles pour comprendre les techniques\u00a0cryptographiques :<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"http:\/\/www.apprendre-en-ligne.net\/crypto\/menu\/index.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">http:\/\/www.apprendre-en-ligne.net\/crypto\/menu\/index.html<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.dcode.fr\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">http:\/\/www.dcode.fr<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<hr \/>\n<p><strong>Mardi 15 mars 2016<\/strong><\/p>\n<p>D\u00e9crypter ce message :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span style=\"color: #000000;\">tyenlpyenlqwqyfyklmlqtyhgmjwnkkyjmfogfwgxykywjylkqafyzjnfwgqkuqyly<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><span style=\"color: #008000;\">F\u00e9licitations \u00e0\u00a0Nicolas Argaud (Licence math\u00e9matiques).<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: left;\">Solution :<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\">Pour d\u00e9crypter ce message, o\u00f9 les espaces on \u00e9t\u00e9 supprim\u00e9s, on pouvait commencer par\u00a0analyser\u00a0la <strong>fr\u00e9quence d&rsquo;apparition<\/strong> des lettres. Cette fr\u00e9quence est \u00e0 peu pr\u00e8s stable dans un texte \u00e9crit dans une langue donn\u00e9e (sauf si bien s\u00fbr on s&rsquo;applique \u00e0 r\u00e9diger un texte en omettant une certaine lettre ou en choisissant\u00a0volontairement les mots pour biaiser cette r\u00e9partition).\u00a0En fran\u00e7ais, les statistiques donnent ceci :<\/p>\n<div id=\"attachment_523\" style=\"width: 325px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><a href=\"http:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-content\/uploads\/2016\/03\/batonsfr2.gif\" rel=\"attachment wp-att-523\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-523\" class=\"wp-image-523 size-full\" src=\"http:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-content\/uploads\/2016\/03\/batonsfr2.gif\" alt=\"Fr\u00e9quence des lettres en fran\u00e7ais\" width=\"315\" height=\"195\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-523\" class=\"wp-caption-text\">Fr\u00e9quence des lettres en fran\u00e7ais. Image extraite du site : http:\/\/www.apprendre-en-ligne.net\/crypto\/stat\/francais.html<\/p><\/div>\n<p style=\"text-align: left;\">L&rsquo;analyse sur ce texte donne (en nombre d&rsquo;apparitions) :<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Y\u00a0: 12<\/td>\n<td>Q, L, K :\u00a06<\/td>\n<td>W, F : 5<\/td>\n<td>N, G, J\u00a0:\u00a04<\/td>\n<td>M\u00a0:\u00a03<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>La lettre \u00ab\u00a0y\u00a0\u00bb correspond probablement \u00e0 un \u00ab\u00a0e\u00a0\u00bb. Ensuite on est bien en peine\u2026 le texte est trop court pour que l&rsquo;analyse statistique puisse bien fonctionner.<\/p>\n<p>On peut remarquer le d\u00e9but du message avec la s\u00e9quence \u00ab\u00a0tyenlpyenl\u00a0\u00bb qui r\u00e9p\u00e8te 2 fois un groupe de 4 lettres.<\/p>\n<p>On peut penser \u00e0 un mot probable dans ce texte, par exemple, \u00ab\u00a0mathematique\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0mathematicien\u00a0\u00bb. On remarque que ces mots reproduisent la r\u00e9p\u00e9tition observ\u00e9e : \u00ab\u00a0<strong>mat<\/strong>he<strong>mat<\/strong>\u00a0\u00bb et m\u00eame\u00a0\u00ab\u00a0<strong>e mat<\/strong>h<strong>emat<\/strong>\u00ab\u00a0. Il pourrait y avoir correspondance entre \u00ab\u00a0yenl\u00a0\u00bb et \u00ab\u00a0emat\u00a0\u00bb.<\/p>\n<p>Pour le savoir, on substitue ces lettres partout dans le texte. On peut deviner\u00a0d&rsquo;autres mots et ainsi trouver des lettres suppl\u00e9mentaires en faisant l&rsquo;hypoth\u00e8se \u00ab\u00a0enlpyenlqwqyf\u00a0\u00bb = \u00ab\u00a0mathematicien\u00a0\u00bb. On peut remarquer la fin du message en : \u00ab\u00a0yzjnfwgqkuqyly\u00a0\u00bb qui donne \u00ab\u00a0&#8211;anc-i&#8211;iete\u00a0\u00bb\u2026 ce qui ressemble fortement \u00e0 un personnage dont il est question pendant cette <a href=\"http:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/semaine-des-mathematiques-2016\/\">Semaine des math\u00e9matiques<\/a> : Fran\u00e7ois Vi\u00e8te.<\/p>\n<p>De proche en proche, on trouve le message complet : (en remettant les espaces)<\/p>\n<p style=\"padding-left: 60px;\">LE MATHEMATICIEN EST UTILE POUR CASSER UN BON CODE SECRET SIGNE FRANCOIS VIETE<\/p>\n<p>Ce cryptage \u00e9tait donc une\u00a0<strong>substitution<\/strong> de lettres : chaque lettre du message initial a \u00e9t\u00e9 remplac\u00e9e par une autre lettre.<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Mercredi 16 mars 2016<\/strong><\/p>\n<p>D\u00e9crypter ce message :<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-content\/uploads\/2016\/03\/message.gif\" rel=\"attachment wp-att-503\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-503 aligncenter\" src=\"http:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-content\/uploads\/2016\/03\/message.gif\" alt=\"message\" width=\"511\" height=\"242\" \/><\/a><\/p>\n<p><span style=\"color: #008000;\">F\u00e9licitations \u00e0 l&rsquo;\u00e9quipe form\u00e9e de Justine\u00a0Maniey (L3 math\u00e9matiques), Alexandre\u00a0Sanchez (L3 math\u00e9matiques) et\u00a0Isabelle Greff (ma\u00eetre de conf\u00e9rences\u00a0d\u00e9partement de math\u00e9matiques).<\/span><\/p>\n<p>Solution :<\/p>\n<p>Ici il s&rsquo;agit d&rsquo;un <strong>codage<\/strong> et non d&rsquo;un cryptage : les lettre du\u00a0message ont simplement \u00e9t\u00e9 remplac\u00e9es par des dessins. On peut donc tenter une analyse de la fr\u00e9quence des symboles pour en d\u00e9duire les lettres. Mais ce texte est assez court, le r\u00e9sultat est incertain.<\/p>\n<p>Cependant, on peut remarquer que le premier mot est de la forme \u00ab\u00a0ABBC\u00a0\u00bb. Quels mots de 4 lettres peuvent exister avec un doublement de lettre au milieu ? Pas tant que cela\u2026\u00a0On pouvait penser au pr\u00e9nom \u00ab\u00a0ANNE\u00a0\u00bb.<\/p>\n<p>En analysant\u00a0la taille des mots, ceux-ci sont assez courts. Ce message pourrait-il \u00eatre dans une autre langue que le fran\u00e7ais ? Peut-\u00eatre\u2026 L&rsquo;anglais a cette particularit\u00e9 d&rsquo;avoir beaucoup de mots courts. On observe aussi un doublement de lettre dans le dernier mot. Alors quels doublements de lettres peut-on rencontrer en anglais ?<\/p>\n<p>Pour les consonnes, on peut trouver \u00ab\u00a0LL\u00a0\u00bb (bill), \u00ab\u00a0RR\u00a0\u00bb (referred), \u00ab\u00a0TT\u00a0\u00bb (sitting). Pour les voyelles, on peut trouver \u00ab\u00a0OO\u00a0\u00bb (good, mood), \u00ab\u00a0EE\u00a0\u00bb (need, seed\u2026). Ces derniers mots de 4 lettres avec double voyelle pourraient correspondre au premier mot cod\u00e9.<\/p>\n<p>On peut toujours analyser la fr\u00e9quence des lettres en anglais, qui se r\u00e9partie comme suit :<\/p>\n<div id=\"attachment_522\" style=\"width: 326px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><a href=\"http:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-content\/uploads\/2016\/03\/batonsan2.gif\" rel=\"attachment wp-att-522\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-522\" class=\"size-full wp-image-522\" src=\"http:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-content\/uploads\/2016\/03\/batonsan2.gif\" alt=\"Fr\u00e9quence des lettres en anglais. Image extraite du site : http:\/\/www.apprendre-en-ligne.net\/crypto\/stat\/anglais.html\" width=\"316\" height=\"195\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-522\" class=\"wp-caption-text\">Fr\u00e9quence des lettres en anglais. Image extraite du site : http:\/\/www.apprendre-en-ligne.net\/crypto\/stat\/anglais.html<\/p><\/div>\n<p>Le d\u00e9codage complet conduit \u00e0 :<\/p>\n<p style=\"padding-left: 60px;\">NEED EXTRA CASH<br \/>\nMELT DOWN YOUR OLD<br \/>\nUNWANTED HUMANS<br \/>\nWE PAY TOP DOLLAR<\/p>\n<p>Ce texte est en fait tir\u00e9 de la s\u00e9rie t\u00e9l\u00e9vis\u00e9e d&rsquo;animation <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Futurama\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Futurama<\/a>, utilisant l&rsquo;alphabet \u00ab\u00a0alien\u00a0\u00bb donn\u00e9 <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Futurama#Language\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">\u00e0 ce lien<\/a>\u00a0!<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>Mardi 22 mars 2016<\/strong><\/p>\n<p>Parviendrez-vous \u00e0 trouver la cl\u00e9 de cette belle phrase ?<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">Bfj vr ytprqrtm jra dax w&rsquo;vbnom cdxbylcstr, geiia vrl f&rsquo;fvg ltck. Unxd Nnivt<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\"><span style=\"color: #008000;\">F\u00e9licitations \u00e0 Nelly\u00a0Barrau, premi\u00e8re \u00e0 avoir trouv\u00e9 la cl\u00e9\u00a0! (Suivie de pr\u00e8s par\u00a0Nicolas Argaud.)<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: left;\">Ici le cryptage est plus compliqu\u00e9. Une analyse des fr\u00e9quences des lettres ne donnera rien, car une m\u00eame lettre du message original peut \u00eatre cod\u00e9e en\u00a0des lettres diff\u00e9rentes.<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\">Il s&rsquo;agit d&rsquo;un cryptage tr\u00e8s classique appel\u00e9 \u00ab\u00a0chiffre de Vigen\u00e8re\u00a0\u00bb, qui consiste \u00e0 une utiliser une cl\u00e9 de cryptage, compos\u00e9e de plusieurs lettres. (Avec une cl\u00e9 \u00e0 une seule lettre, cela revient \u00e0 appliquer un chiffre de C\u00e9sar, c&rsquo;est-\u00e0-dire un simple d\u00e9calage des <em>n<\/em> lettres dans l&rsquo;alphabet.)<\/p>\n<p style=\"text-align: left;\">Par exemple, la cl\u00e9 \u00e9tait ici <strong>TURING<\/strong>. Chaque lettre de la cl\u00e9 correspond \u00e0 un <span style=\"color: #0000ff;\">d\u00e9calage<\/span>\u00a0(A=0, B=1, C=2\u2026) d&rsquo;un certain nombre de lettres dans l&rsquo;alphabet.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>T<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>U<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>R<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>I<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>N<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>G<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+19<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+20<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+17<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+8<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+13<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+6<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>On applique ces d\u00e9calages de fa\u00e7on r\u00e9p\u00e9t\u00e9e sur le message original (en ignorant\u00a0les espaces, les accents et la ponctuation). (Et si on arrive \u00e0 \u2026W X Y Z, on continue avec A B C D\u2026)<\/p>\n<p>Message : \u00ab\u00a0Ils ne savaient\u2026\u00a0\u00bb<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>I<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>L<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>S<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>N<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>E<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>S<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>A<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>V<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>A<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>I<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>E<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>N<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>T<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><strong>\u2026<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+19<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+20<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+17<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+8<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+13<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #0000ff;\">+6<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\">+19<\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\">+20<\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\">+17<\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\">+8<\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\">+13<\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\">+6<\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\">+19<\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\">+20<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">B<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">F<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">J<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">V<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">R<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">Y<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">T<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">P<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">R<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">Q<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">R<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">T<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\"><span style=\"color: #ff0000;\">M<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 20px; text-align: center; vertical-align: middle;\">\u2026<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Message cod\u00e9 : \u00ab\u00a0Bfj vr ytprqrtm\u2026\u00a0\u00bb<\/p>\n<p>Ainsi, connaissant la cl\u00e9, on applique le m\u00eame proc\u00e9d\u00e9 sur le message cod\u00e9, mais en d\u00e9calant les lettres en sens contraire.<\/p>\n<p>Pour trouver la cl\u00e9, il existe des astuces. D\u00e9j\u00e0 pour retrouver sa longueur. Il faut observer la r\u00e9p\u00e9tition\u00a0de s\u00e9quences de lettres dans le message cod\u00e9, que l&rsquo;on suppose correspondre \u00e0 des r\u00e9p\u00e9titions de s\u00e9quences de lettres dans le message original. Le nombre de lettres entre ces r\u00e9p\u00e9titions de s\u00e9quences est alors un multiple de la longueur de la cl\u00e9. Si l&rsquo;on rep\u00e8re plusieurs r\u00e9p\u00e9titions de s\u00e9quences, alors la longueur de la cl\u00e9 est le plus petit d\u00e9nominateur commun des nombres de lettres entre les r\u00e9p\u00e9titions. H\u00e9las, cette m\u00e9thode ne fonctionne bien que sur des longs textes.<\/p>\n<p>Une fois la longueur trouv\u00e9e, on peut \u00e9crire le message cod\u00e9 en colonnes et analyser la fr\u00e9quence des lettres pour chaque colonne (puisqu&rsquo;une colonne correspond \u00e0 un d\u00e9calage de\u00a0l&rsquo;alphabet, la fr\u00e9quence est conserv\u00e9e dans une\u00a0colonne.)<\/p>\n<p>On peut aussi tester des cl\u00e9s probables \ud83d\ude42<\/p>\n<p>Pas simple\u2026 N\u00e9anmoins, le message propos\u00e9 ici a bien \u00e9t\u00e9 d\u00e9cod\u00e9 :<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\"><strong>Ils ne savaient pas que c&rsquo;\u00e9tait impossible, alors ils l&rsquo;ont fait. Mark Twain<\/strong><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"text-align: right;\"><em>Cryptages : <a href=\"http:\/\/jcresson.perso.univ-pau.fr\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Jacky Cresson<\/a>.\u00a0<\/em><em>Explications : <a href=\"http:\/\/darrigan.net\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Clovis Darrigan<\/a><\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Pendant la Semaine des math\u00e9matiques, nous avons propos\u00e9\u00a0quelques d\u00e9fis cryptographiques.\u00a0Voici les r\u00e9sultats et les solutions !<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":503,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[57,37],"tags":[36,56],"class_list":["post-502","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-defis","category-toutes-categories","tag-cryptographie","tag-defi"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/502","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=502"}],"version-history":[{"count":27,"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/502\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1590,"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/502\/revisions\/1590"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/media\/503"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=502"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=502"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=502"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}