{"id":1910,"date":"2024-11-08T17:12:57","date_gmt":"2024-11-08T16:12:57","guid":{"rendered":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/?p=1910"},"modified":"2025-12-01T21:00:35","modified_gmt":"2025-12-01T20:00:35","slug":"les-decoupages-magiques-de-harry-houdini-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/les-decoupages-magiques-de-harry-houdini-2\/","title":{"rendered":"Les d\u00e9coupages magiques de Harry Houdini"},"content":{"rendered":"

En 1922, Harry Houdini<\/p>\n

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c\u00e9l\u00e8bre magicien, publie un livre intitul\u00e9 \u201dHoudini\u2019s paper magic\u201d, qui contient des origamis et des d\u00e9coupages.<\/p>\n

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L\u2019une des activit\u00e9s pr\u00e9sent\u00e9es s\u2019appelle \u201dL\u2019\u00e9toile \u00e0 cinq branches\u201d : le but est de d\u00e9couper une \u00e9toile \u00e0 cinq branches dans une feuille de papier carr\u00e9e en un seul coup de ciseaux ! Plus g\u00e9n\u00e9ralement, si je dessine une forme polygonale sur une feuille, est-il toujours possible de la d\u00e9couper en un seul coup de ciseaux ? La r\u00e9ponse est positive et concerne m\u00eame toute famille finie de polygones disjoints sur une feuille. C\u2019est le Fold and Cut theorem<\/strong> d\u00e9montr\u00e9 en 1999 par Erik Demaine, Martin Demaine et Anna Lubiw.<\/p>\n

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Ce th\u00e9or\u00e8me nous a inspir\u00e9 l’atelier suivant qui peut \u00eatre r\u00e9alis\u00e9 d\u00e8s l’\u00e9cole primaire.<\/p>\n

Pour entrer progressivement dans la complexit\u00e9 que porte ce th\u00e9or\u00e8me, nous allons d\u00e9couper en un seul coup de ciseaux plusieurs formes qui chacune vont nous apporter une certaine compr\u00e9hension de la mani\u00e8re de r\u00e9aliser le pliage pour une figure polygonale donn\u00e9e.<\/p>\n

L’\u00e9toile \u00e0 5 branche : le tour de magie de Houdini<\/strong><\/p>\n

On commence par le tout de magie historique de Houdini qui a inspir\u00e9 ce th\u00e9or\u00e8me. On distribue aux participants une \u00e9toile \u00e0 5 branche et on leur demande de la d\u00e9couper en un seul coup de ciseaux. Attention \u00e0 imprimer ces dessins sur des feuilles assez l\u00e9g\u00e8re pour que l’impression de l’\u00e9toile puisse se voir en transparence !<\/p>\n

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Assez rapidement, l’id\u00e9e de plier le papier va surgir. Ce qui est int\u00e9ressant ici est de laisser faire les participants car ils ne vont pas forc\u00e9ment formuler un principe qui justifie ce pliage. Leur intuition leur dit de plier mais la raison pour laquelle ils le font n’est la plupart du temps pas explicit\u00e9e.<\/p>\n

Dans la plupart des classes et ind\u00e9pendamment de l’\u00e2ge, on trouve toujours une personne qui va r\u00e9ussir \u00e0 d\u00e9couper l’\u00e9toile en un seul coup de ciseaux. Une mani\u00e8re de proc\u00e9der est alors de demander \u00e0 cette personne de venir expliquer comment elle a proc\u00e9d\u00e9.<\/p>\n

Voici un pliage possible:<\/p>\n

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Il faut alors chercher \u00e0 faire verbaliser la proc\u00e9dure qui a \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9e et surtout pourquoi avoir pli\u00e9. \u00c0 force de discussion, on arrive la plupart du temps \u00e0 formuler les propositions suivantes:<\/p>\n

1- pour arriver \u00e0 d\u00e9couper la figure en un seul coup de ciseaux il faut faire un pliage qui superpose tous les segments sur un seul.<\/p>\n

2- si on a un axe de sym\u00e9trie dans la figure, cette sym\u00e9trie permet naturellement de r\u00e9duire le nombre de segments \u00e0 d\u00e9couper.<\/p>\n

On voit la proposition 2 en action dans l’\u00e9tape 1 du pliage pr\u00e9c\u00e9dent: on passe de 10 coups de ciseaux dans la figure compl\u00e8te \u00e0 5 coups de ciseaux par utilisation d’une sym\u00e9trie axiale de l’\u00e9toile.<\/p>\n

Il faut noter que parfois on a seulement une sym\u00e9trie partielle de la figure comme \u00e0 l’\u00e9tape 2.<\/p>\n

Une fois compris le but du pliage et ce premier \u00e9l\u00e9ment pour penser le pliage \u00e0 faire, on peut aborder une autre figure.<\/p>\n

Le rectangle et l’arriv\u00e9e des bissectrices<\/strong><\/p>\n

On distribue donc des rectangles:<\/p>\n

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Il faut faire attention \u00e0 ce que ce rectangle soit \u00ab\u00a0quelconque\u00a0\u00bb. En particulier pas un carr\u00e9…<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral, tous les participants vont arriver au pliage suivant<\/p>\n

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et vont \u00eatre bloqu\u00e9 par la derni\u00e8re \u00e9tape car il n’y a plus de sym\u00e9tries \u00e9videntes….<\/p>\n

Si personne n’y arrive alors il faut rappeler le principe que nous avons mis en avant pour la construction du pliage: il faut r\u00e9ussir \u00e0 faire se superposer les segments \u00e0 d\u00e9couper…donc ramener le petit segment sur le grand…..l’utilisant du pli en diagonale va alors s’imposer rapidement.<\/p>\n

On obtient donc\"\"Il est bon \u00e0 ce moment l\u00e0 de regarder plus attentivement ce que l’on a fait et de s’attarder sur ce dernier pli. Il ne provient pas d’une sym\u00e9trie mais r\u00e9pond \u00e0 un probl\u00e8me g\u00e9n\u00e9ral que nous aurons \u00e0 g\u00e9rer pour des figures plus complexes: comment envoyer deux segments qui partent d’un m\u00eame sommet l’un sur l’autre ?<\/p>\n

La r\u00e9ponse est que le pli doit se faire le long de la bissectrice de l’angle form\u00e9 par les deux segments.<\/p>\n

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La notion de bissectrice d’un angle est donc un \u00e9l\u00e9ment essentiel de la construction de notre pliage.<\/p>\n

Le triangle et le th\u00e9or\u00e8me de Maekawa-Justin<\/strong><\/p>\n

Pour tester cette id\u00e9e, on essaie de trouver le pliage n\u00e9cessaire pour d\u00e9couper un triangle quelconque en un seul coup de ciseaux.<\/p>\n

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Ce triangle n’a pas de sym\u00e9tries particuli\u00e8res. Nous devons donc nous en remettre \u00e0 notre seul \u00e9l\u00e9ment de construction, \u00e0 savoir les bissectrices de chacun des trois angles du triangle. Je conseille de faire ces plis en plis montagnes de fa\u00e7on \u00e0 pouvoir chaque fois voir les lignes que l’on superpose.<\/p>\n

On va donc avoir les plis suivants:<\/p>\n

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En effectuant les plis, on s’aper\u00e7oit rapidement que le pliage ne se met pas \u00e0 plat et fait une sorte d’\u00e9toile \u00e0 trois branches en 3D.<\/p>\n

Certain vont \u00ab\u00a0forcer\u00a0\u00bb le pliage \u00e0 se mettre \u00e0 plat et se faisant vont faire appara\u00eetre un pli suppl\u00e9mentaire qui est orthogonal \u00e0 un des c\u00f4t\u00e9s du triangle:<\/p>\n

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Est-ce que ce pli est n\u00e9cessaire ? Y-avait-il d’autres fa\u00e7ons de proc\u00e9der ?<\/p>\n

En fait, non ! Ce pli suppl\u00e9mentaire est n\u00e9cessaire par le th\u00e9or\u00e8me dit de Maekawa-Justin:<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me de Maekawa-Justin<\/strong>: On note M le nombre de plis montagnes et V le nombre de plis vall\u00e9es en un sommet du canevas d’un pliage qui se met \u00e0 plat. Alors, on a toujours une diff\u00e9rence de 2 entre M et V.<\/em><\/p>\n

En particulier, en chaque sommet d’un pliage qui se met \u00e0 plat, on a un nombre pair de plis qui arrivent.<\/p>\n

Dans le cas du triangle on avait initialement M=3 (les 3 bissectrices) et V=0 et ce pliage ne pouvait donc pas se mettre \u00e0 plat. Il \u00e9tait donc n\u00e9cessaire de rajouter un pli vall\u00e9e pour satisfaire la condition du th\u00e9or\u00e8me. Ce pli est choisi perpendiculaire \u00e0 un c\u00f4t\u00e9 quelconque du triangle et passant par l’intersection des 3 bissectrices. Ce faisait, ce pli ram\u00e8ne un segment sur lui m\u00eame et permet de mettre notre pliage \u00e0 plat.<\/p>\n

Notons au passage que les trois bissectrices se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit au triangle. C’est un joli r\u00e9sultat que l’on peut \u00e9voquer en passant suivant le niveau du public.<\/p>\n

La fin du voyage…<\/strong><\/p>\n

Nous avons ainsi maintenant plusieurs ingr\u00e9dients permettant de construire le pliage n\u00e9cessaire pour une forme donn\u00e9e afin de la d\u00e9couper en un seul coup de ciseaux. Est-ce que ces \u00e9l\u00e9ments permettent de faire facilement toutes les formes possibles ?<\/p>\n

Malheureusement, non ! Une illustration des ph\u00e9nom\u00e8nes possibles est donn\u00e9e par le pliage n\u00e9cessaire pour d\u00e9couper un A en un seul coup de ciseaux qui est propos\u00e9 par Joseph O\u2019Rourke dans son livre How to fold it<\/em> chez\u00a0 Cambridge University Press
\n\"\" \"\"En effet, le pliage est le suivant:<\/p>\n

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On voit les \u00e9l\u00e9ments que nous avons discut\u00e9s, les bissectrices, les axes de sym\u00e9tries, les plis suppl\u00e9mentaires dus au th\u00e9or\u00e8me de Maekawa-Justin, mais aussi l’interaction de ces plis les uns avec les autres. Ces interactions peuvent \u00eatre compliqu\u00e9es et suivant la mani\u00e8re dont on va rajouter certains plis, le pliage peut devenir vite infernal ! Voici l’exemple du pliage propos\u00e9 par O’Rourke pour une tortue….<\/p>\n

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Il y a encore beaucoup de choses \u00e0 raconter sur la construction de ces pliages mais l’essentiel est l\u00e0.<\/p>\n

Nous n’avons pas trait\u00e9 du d\u00e9coupage simultan\u00e9 de plusieurs formes polygonales. Le but est comme pour les autres de ramener le d\u00e9coupage de chacune \u00e0 la d\u00e9coupe d’un segment et ensuite de ramener chacun de ces segments l’un sur l’autre. C’est possible mais pas forc\u00e9ment simple ! Pour vous en convaincre, voici le pliage n\u00e9cessaire pour d\u00e9couper simultan\u00e9ment un rectangle et un carr\u00e9 qui sont bien positionn\u00e9s l’un par rapport \u00e0 l’autre !<\/p>\n

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Je vous encourage vivement \u00e0 lire le livre de O’Rourke qui est accessible et pas trop technique.<\/p>\n

Une pr\u00e9sentation de cette activit\u00e9 est donn\u00e9e dans l’article<\/p>\n

J. Cresson, L. Hume, Les d\u00e9coupages magiques de Harry Houdini, Gazette des Math\u00e9maticiens, SMF, 2024.<\/p>\n

028_Cresson_Hume_origami_final<\/a><\/p>\n

Les supports pour faire cette activit\u00e9 sont ici<\/p>\n

formes-activite-decoupages-magiques<\/a><\/p>\n

avec les pliages que l’on peut faire pour les d\u00e9couper en une seule fois<\/p>\n

formes-activite-decoupages-magiques-pliages<\/a><\/p>\n

Jacky Cresson, 2024.<\/p>\n

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