{"id":1885,"date":"2024-11-05T16:07:55","date_gmt":"2024-11-05T15:07:55","guid":{"rendered":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/?p=1885"},"modified":"2025-12-01T21:00:38","modified_gmt":"2025-12-01T20:00:38","slug":"fractales-dessins-pliages-et-coloriages","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathematicum.univ-pau.fr\/site\/fractales-dessins-pliages-et-coloriages\/","title":{"rendered":"Fractales, dessins, pliages et coloriages"},"content":{"rendered":"

Comment dessiner un nuage, un arbre, une montagne ? Lorsqu’on est enfant, on sait que ces formes sont difficiles \u00e0 repr\u00e9senter. On arrive beaucoup mieux \u00e0 faire une maison, un chemin, une fleur. La complexit\u00e9 de ces figures tient au fait qu’elles sont difficiles a priori \u00e0 r\u00e9aliser avec les formes g\u00e9om\u00e9triques de bases, comme le cercle, le carr\u00e9, le triangle, etc. Cette complexit\u00e9 pourtant n’est qu’apparente. Benoit Mandelbrot, un math\u00e9maticien fran\u00e7ais, a mis en \u00e9vidence une structure qu’il appelle fractale<\/strong> dans ces objets. Une foug\u00e8re ou un arbre vont ainsi s’obtenir par une application r\u00e9p\u00e9t\u00e9es d’une consigne simple. Voici un exemple :<\/p>\n

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Il existe plusieurs activit\u00e9s li\u00e9es aux objets fractals que l’on peut faire avec des classes.<\/p>\n

Coloriages, pavages et fractales<\/strong><\/p>\n

On prend un carr\u00e9 et on va plier tous les axes de sym\u00e9tries. Les deux diagonales et les deux axes.<\/p>\n

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L’id\u00e9e est de construire d’abord de mani\u00e8re r\u00e9cursive un embo\u00eetement de carr\u00e9s. Pour cela on va prendre pour nouveaux sommets du carr\u00e9 que l’on veut tracer, les milieux de chaque c\u00f4t\u00e9 du dernier carr\u00e9 obtenu. A la premi\u00e8re \u00e9tape on construit donc le carr\u00e9 rouge suivant :<\/p>\n

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Il n’y a pas besoin de mesurer avec une r\u00e8gle le c\u00f4t\u00e9 du carr\u00e9 car il est indiqu\u00e9 par le pliage des deux axes de sym\u00e9tries.<\/p>\n

On continue ainsi la construction d’un nouveau carr\u00e9 imbriqu\u00e9 dans le carr\u00e9 rouge. Le milieu des c\u00f4t\u00e9s du carr\u00e9 rouge sont aussi indiqu\u00e9s car ils se trouvent \u00e0 l’intersection avec les deux diagonales que nous avons pli\u00e9es. On obtient le carr\u00e9 vert suivant :<\/p>\n

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On continue autant que l’on veut cette construction. On obtient alors une figure de la forme :<\/p>\n

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On peut profiter de l’occasion pour parler de l’infinie. Souvent lorsqu’on parle d’infinit\u00e9, on pense \u00e0 l’univers. Ici, on a un objet qui contient une infinit\u00e9 de version de lui m\u00eame et qui pourtant tient dans une main.<\/p>\n

Ce dessin peut ensuite \u00eatre colori\u00e9 pour faire appara\u00eetre des spirales imbriqu\u00e9es. La proc\u00e9dure de coloriage est la suivante : on commence par s\u00e9lectionner un triangle, par exemple celui en haut \u00e0 droite. On le colorie d’une couleur, ici le rouge.\"\" \"\" \"\" \"\" \"\" \"\" \"\"<\/p>\n

On continue ainsi en changeant la couleur utilis\u00e9e. On obtient alors ces quatre spirales embo\u00eet\u00e9es.<\/p>\n

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On peut bien \u00e9videmment faire le m\u00eame travail avec d’autres polygones. Ici le pentagone (dont il faut plier les axes de sym\u00e9tries aussi pour obtenir les sommets des diff\u00e9rents pentagones \u00e0 construire).<\/p>\n

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On peut utiliser ces objets pour cr\u00e9er des pavages qui sont particuli\u00e8rement complexes \u00e0 premi\u00e8re vue. Vous devez disposer plusieurs tuiles carr\u00e9es fractales les unes \u00e0 c\u00f4t\u00e9 des autres en les collant par le c\u00f4t\u00e9. On obtient alors le pavage suivant :<\/p>\n

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On peut \u00e9videmment faire la m\u00eame chose en utilisant des triangles fractals et des hexagones fractals sur le m\u00eame principe. Les formes qui apparaissent pavent effectivement le plan et si on avait regard\u00e9 la figure form\u00e9e par le carr\u00e9 et les 4 spirales sur le c\u00f4t\u00e9, il y a fort \u00e0 parier que savoir si cette forme pave ou non le plan aurait \u00e9t\u00e9 non \u00e9vident !<\/p>\n

Une fa\u00e7on de r\u00e9aliser ce pavage est de faire construire un carr\u00e9 fractal \u00e0 chaque \u00e9l\u00e8ve et ensuite de la coller sur une grande feuille A3 par exemple. Une fois ce travail fait, il faut ensuite faire le coloriage du pavage pour faire appara\u00eetre ces formes spiral\u00e9es.<\/p>\n

Vous trouverez ici deux supports pour faire le carr\u00e9 fractal et le pentagone fractal:<\/p>\n

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formes-activite-fractales-coloriages<\/a><\/p>\n

fractales-presentation-support<\/a> (contenant des animations)<\/p>\n

Jacky Cresson, Novembre 2024<\/p>\n

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